Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Διαφορικές Εξισώσεις

• Παραδείγματα, ορισμοί, Πρόβλημα αρχικών τιμών.
• Εξισώσεις 1ης τάξης: Χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές εξισώσεις και ολοκληρωτικοί παράγοντες, ομογενείς, εξισώσεις Bernoulli και Riccati, εξισώσεις 2ης τάξης που ανάγονται σε 1η, ομογενείς, ακριβείς (και εξισώσεις που ανάγονται σε ομογενείς η ακριβείς).
• Προβλήματα αρχικών τιμών, Ύπαρξη μαι μοναδικότητα λύσης, προσεγγιστική μέθοδος Piccard, θεώρημα Piccard-Lindelof (χωρίς απόδειξη), συνθήκη Lipschitz, παραδείγματα. Στοιχεία ποιοτικής θεωρίας, πληθυσμιακό μοντέλο Malthus, λογιστικό μοντέλο, διάγραμμα φάσης, ασυμπτωτική συμπεριφορά λύσης ΠΑΤ, σημεία ισορροπίας.
• Γραμμικές εξισώσεις ν-τάξης. Ομογενείς εξισώσεις, ο χώρος των λύσεων, χαρακτηριστικό πολυώνυμο εξίσωσης, γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Μη ομογενείς εξισώσεις, επίλυση μέσω: (α) Μεθόδου μεταβολής παραμέτρων, (β) μεθόδου απροσδιόριστων συντελεστών, [(γ) μετασχηματισμού Laplace.]
• Γραμμικά συστήματα: Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ΠΑΤ. Ομογενή συστήματα, Θεμελιώδης πίνακας λύσεων, Ορίζουσα Wronski, Πίνακας μεταφοράς. Μη-ομογενή συστήματα: Μέθοδος μεταβολής παραμέτρων. Συστήματα με σταθερούς συντελεστές: Εκθετικός πίνακας exp(At), ιδιότητες, υπολογισμός μέσω ιδιοτιμών-ιδιοδιανυσμάτων (για πίνακες απλής δομής, απλή αναφορά σε πίνακες μη απλής δομής και μορφή Jordan), μη ομογενή συστήματα και ολοκληρώματα συνέλιξης.

Εισαγωγή στη μιγαδική ανάλυση

• Μιγαδικοί αριθμοί: Ορισμοί, ιδιότητες.
• Ακολουθίες και σειρές μιγαδικών αριθμών.
• Μιγαδικές συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής: Συνεχείς συναρτήσεις, Δυναμοσειρές, Αναλυτικές Συναρτήσεις, Στοιχειώδεις συναρτήσεις.
• o Ολοκλήρωμα μιγαδικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής, Το θεώρημα Cauchy. Ολοκληρωτικός Τύπος του Cauchy. Σειρές Taylor και Laurent. Ανώμαλα σημεία. Πόλοι. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα. Εφαρμογές.