Εξάμηνο:
5ο
Τύπος Μαθήματος:
Προαιρετικό (ΠΜ)
Κατεύθυνση:
-
Κωδικός:
Κ20β
ECTS:
6
Διδακτικές Ώρες
Ώρες Θεωρίας:
3
Ώρες Φροντιστηρίου:
1
Ώρες Εργαστηρίου:
-
Μάθημα στις Ειδικεύσεις
Θεμελιώσεις Πληροφορικής (S1):
-
Διαχείριση Δεδομένων και Γνώσης (S2):
-
Λογισμικό (S3):
-
Υλικό και Αρχιτεκτονική (S4):
-
Επικοινωνίες και Δικτύωση (S5):
-
Επεξεργασία Σήματος και Πληροφορίας (S6):
-
Σχετικά Μαθήματα
Αναλυτική Περιγραφή
Σύντομη περιγραφή Μαθήματος
Διαφορικές Εξισώσεις
- Παραδείγματα, ορισμοί, Πρόβλημα αρχικών τιμών.
- Εξισώσεις 1ης τάξης: Χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές εξισώσεις και ολοκληρωτικοί παράγοντες, ομογενείς, εξισώσεις Bernoulli και Riccati, εξισώσεις 2ης τάξης που ανάγονται σε 1η, ομογενείς, ακριβείς (και εξισώσεις που ανάγονται σε ομογενείς η ακριβείς).
- Προβλήματα αρχικών τιμών, Ύπαρξη μαι μοναδικότητα λύσης, προσεγγιστική μέθοδος Piccard, θεώρημα Piccard-Lindelof (χωρίς απόδειξη), συνθήκη Lipschitz, παραδείγματα. Στοιχεία ποιοτικής θεωρίας, πληθυσμιακό μοντέλο Malthus, λογιστικό μοντέλο, διάγραμμα φάσης, ασυμπτωτική συμπεριφορά λύσης ΠΑΤ, σημεία ισορροπίας.
- Γραμμικές εξισώσεις ν-τάξης. Ομογενείς εξισώσεις, ο χώρος των λύσεων, χαρακτηριστικό πολυώνυμο εξίσωσης, γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Μη ομογενείς εξισώσεις, επίλυση μέσω: (α) Μεθόδου μεταβολής παραμέτρων, (β) μεθόδου απροσδιόριστων συντελεστών, [(γ) μετασχηματισμού Laplace.]
- Γραμμικά συστήματα: Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ΠΑΤ. Ομογενή συστήματα, Θεμελιώδης πίνακας λύσεων, Ορίζουσα Wronski, Πίνακας μεταφοράς. Μη-ομογενή συστήματα: Μέθοδος μεταβολής παραμέτρων. Συστήματα με σταθερούς συντελεστές: Εκθετικός πίνακας exp(At), ιδιότητες, υπολογισμός μέσω ιδιοτιμών-ιδιοδιανυσμάτων (για πίνακες απλής δομής, απλή αναφορά σε πίνακες μη απλής δομής και μορφή Jordan), μη ομογενή συστήματα και ολοκληρώματα συνέλιξης.
Εισαγωγή στη μιγαδική ανάλυση
- Μιγαδικοί αριθμοί: Ορισμοί, ιδιότητες.
- Ακολουθίες και σειρές μιγαδικών αριθμών.
- Μιγαδικές συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής: Συνεχείς συναρτήσεις, Δυναμοσειρές, Αναλυτικές Συναρτήσεις, Στοιχειώδεις συναρτήσεις.
- o Ολοκλήρωμα μιγαδικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής, Το θεώρημα Cauchy. Ολοκληρωτικός Τύπος του Cauchy. Σειρές Taylor και Laurent. Ανώμαλα σημεία. Πόλοι. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα. Εφαρμογές.
Βιβλιογραφία
- Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Ν. Αλικάκος, Γρ. Καλογερόπουλος, ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ, 2003, Αθήνα
- Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση, Ι. Στρατής (σημειώσεις, Αθήνα 2006)
e-Class link